어렵지만 꽤나 흥미로운 '러셀의 역설'

게오르크 칸토어라는 수학자가 있었다. 이 수학자는 '집합론'이라고 알려진 수학 분야의 시초라고 할 수 있다. 물론 그 시작은 고대 그리스 로마 시대로 거슬러 올라가지만, 게오르크가 수리적으로 집합을 분석했다고 본다. 하지만 그의 집합론에 의문을 던진 사람이 있다. 바로 버트런드 러셀이라는 사람이었다. 그는 어떤 집합 A를 만든다. 그리고 A의 집합의 원소의 조건을 정의한다. "집합 A의 원소로 집합 X를 둔다. 집합 X는 원소로써 자기자신을 포함하지 않는다."

집합 X가 뭔지 다시 한 번 알아보자.

집합 X는 원소로써 자기자신을 포함하지 않는다고 했다. 뭔 소리지? 예를 들어 다음과 같은 집합이 있따고 해보자.

X = {1, 2, 3}

집합 X는 1, 2, 3 이라는 3가지 원소를 가지고 있다. 그리고 집합 X는 자기자신을 원소로 가지지 않는다.

자기자신이 뭔데? 집합 X를 말한다. 상기에 기술한 집합 X는 {1, 2, 3}이었다. 즉 집합 X = {1,2,3}이다.

그렇다면 자기자신 = {1,2,3}이다. 생각해보면 간단하다. '나'라는 존재는 곧 '자기자신'이기 때문이다. 

 

그렇다면 집합 X는 원소로써 자기자신을 포함하는 경우를 알아볼까? 집합  X를 다음과 같이 정의해보자

X = {1,2,3,X}

위에 집합 X는 원소로써 1,2,3,X 즉 4가지를 원소로 가지고 있다. 여기서 집합 X는 집합 X인 자기자신을 원소로 가지고 있다. 

 

다시 돌아와보자.  "집합 A의 원소로 집합 X를 둔다. 집합 X는 원소로써 자기자신을 포함하지 않는다."

집합 A를 이렇게 정의를 했다. 그러면 이제부터 문제를 제시하겠다.

 

집합 A는 자기자신을 원소로 포함할 수 있을까?

우선 이 문제는 답이 없다. 답을 낼 수 없다. 왜 그런지는 가정을 함으로써 파악할 수 있다.

 

1. 집합 A는 자기자신을 원소로 포함한다고 가정하자.

집합 A는 자기자신을 원소로 포함한다고 가정했다. 즉 A = {1,2,3, … A} 이렇게 된다고 한 것이다.

하지만 아까 집합 A의 원소들인 X를 다음과 같이 정의했다. 집합 X는 원소로써 자기자신을 포함하지 않는다.

하지만 집합 A의 원소인 집합 A는 자기자신을 포함하지 않는가? 왜냐하면 위에 가정에서 그렇게 하기로 했으니깐.. 

따라서 모순이 발생한다. 즉 집합 A는 자기자신을 포함하면서, 포함하지 않는.. 이상한 상황이 발생하는 것이다.

 

2. 집합 A는 자기자신을 원소로 포함하지 않는다고 가정하자.

집합 A는 자기자신을 원소로 포함하지 않는다고 가정했다. 그러면 집합 A는 자기자신을 포함하지 않으므로 집합 A의 원소 조건인 집합 X는 원소로써 자기자신을 포함하지 않는다. 를 만족하는 것이다. 왜냐하면 위에 가정에서 그러기로 했으니깐.. 따라서 집합 A는 원소 조건을 만족시키기 때문에 자기자신을 원소로 포함할 수 있다. 분명히 가정을 할 때는 포함하지 않기로 했는데, 원소 조건을 만족시키기 때문에 또 포함이 된다는 결론이 도출된다. 즉 모순.

 

이 이야기는 다양한 이야기로 전해지고 있다. 그중에서 가장 유명한 게 '이발사의 역설'이다. 

이발사의 역설

세비야의 한 (남자) 이발사는 다음과 같이 선언했다.

"앞으로 나는 자기 수염을 '스스로 깎지 않는' 모든 사람들의 수염을 전부 깎아줄 것이오. 다만 '스스로 깎는' 사람은 깎아주지 않겠소."

이 때 이 이발사의 수염은 누가 깎아줘야 하는가?

다른 사람이 이 이발사의 수염을 깎아주는 경우 이 이발사는 수염을 '스스로 깎지 않는' 사람에 속하므로, 선언한 바에 따라 자신의 수염을 깎아야 한다.

그러나 스스로 수염을 깎는다면 이 이발사는 수염을 '스스로 깎는' 사람에 속하므로, 선언한 바에 따라 자신의 수염을 깎을 수 없다.

이 이발사는 어찌하면 되는가?

 

이 이야기는 "점쟁이도 자기 죽을 날은 모른다"와 통한다. 그리고 이 것을 집합론적으로 옮긴 것이 러셀의 역설이다.
-나무위키 러셀의 역설 본문 인용

 

또 나무위키 본문을 보면 도서관 카탈로그 이야기도 알려주는데 그 이야기를 개괄하자면 카탈로그 = 집합, 책 = 원소

이렇게 두고 이야기를 전개한다.

 

처음에 러셀의 역설을 접했을 때 당채 이해가 안됐다. 원소로 포함한다고 가정했는데, 갑자기 원소로 포함되지 않는다고 결론을 낸다. 가정이랑 결론이 이럴 수가 있나? 그리고 저렇게 가정이 가능한가? 이런 생각들이 들었다. 근데 계속 오해하고 있던 부분이 집합 A의 원소가 '집합' X인데 '원소' X로 본 것이다. 그러다 보니 그냥 이해가 아예 되지 않았다. 하지만 이해하면 재미있는 수학 역설이므로 한 번쯤 접해보고 고민해보는 것도 좋을 것 같다.